2010-01-06

素数に関する式

素数とは１と自分自身しか約数を持たない数。
２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，・・・・
ここで $p$ を素数として $\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$ 　を考える。
これらの数の積はどうなるのだろうか？

結論からいうと
（ $\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$ の積）＝（ $\frac{1}{n}$ の和）

すなわち
$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{5}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{7}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{11}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{17}}\times\cdots=$ $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots$

gooブログで見たとおり $x<1$ のときは

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots$ となるから，

$\frac{1}{1-\frac{1}{p}}=1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots$
$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{5}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{7}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{11}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{17}}\times\cdots=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots\right)\times\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots\right)\times\cdots$

右辺を詳しく書くと・・・
$\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots\right)\times\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots\right)\times\left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\cdots\right)\times\left(1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+\cdots\right)\times\cdots$

左からある程度順に展開すると，各項は
$1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=1$
$\frac{1}{2}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{5}$
$\frac{1}{7}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{7}$
$\frac{1}{11}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{11}$
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
$1\times\frac{1}{2^2}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{4}$
$1\times\frac{1}{3^2}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{9}$
$1\times\frac{1}{5^2}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{25}$
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
$\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{10}$ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
$\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{15}$
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
$1\times\frac{1}{2^3}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{8}$
$1\times\frac{1}{3^3}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{27}$
$1\times\frac{1}{5^3}\times1\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{125}$
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
$\frac{1}{2^2}\times\frac{1}{3}\times 1\times 1\times 1\times 1\times\cdots=\frac{1}{12}$
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
これにより，各項は
$1,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{4},\quad \frac{1}{5},\quad \frac{1}{6},\quad \frac{1}{7},\quad \frac{1}{8},\quad \frac{1}{9},\quad \frac{1}{10},\quad \frac{1}{11},\quad \frac{1}{12},\quad \cdots$
となることが分かるだろう。各項が重複することはないことに注意したい。証明が必要だがここでは省略する。
また後日。

以上から（ $\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$ の積）＝（ $\frac{1}{n}$ の和）
が成り立つ。これはオイラーが発見した式である。

2009-10-16

微分積分学の基本定理

$f(x)$ が $a\leq x \leq b$ で連続， $a< x < b$ で微分可能。
$f(x)$ の原始関数を[F(x)]とするとき，
定積分の公式
$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ が成り立つ
これを微分積分学の基本定理という。

2009-04-17

牛乳パックの形続き

　下書きして編集したり、texの表示を確認することのやり方が分った。
これからは下書きをして確認しながら作業してからアップしましょう。

給食の牛乳パックが、直方体の形から立方体の形に変わった。「どうして？」と聞く先生がいたので、たぶん表面積を小さくして紙代を節約したのではないか、と答えた。
　「体積が一定の条件で、表面積が最小となる直方体は立方体である」ということは知っていたが、実際に数式を使って調べたことはなかった。そこで数式を使って調べることにした。

$x, y, z$ を直方体の縦、横、高さとする。この直方体の体積を $a$ とすれば、
$xyz=a$ である。
また、表面積を $S$ とすれば、 $S=2(xy+yz+zx)$ である。

「体積が一定の条件で、表面積が最小となる直方体は？」というのは
$xyz=a$ の条件の下で、 $S$ が最小となる条件を求めよ、と言うことである。

まず、 $xyz=a$ であるから、 $xy=\displaystyle\frac{a}{z}$ , $yz=\displaystyle\frac{a}{x}$ , $zx=\displaystyle\frac{a}{y}$

　したがって、 $S=2(\displaystyle\frac{a}{x}+\displaystyle\frac{a}{y}+\displaystyle\frac{a}{z})$ が最小になる条件を求めればよい。

　仮定より、 $x,y,z,a>0$ であるから $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}>0$

したがって、よく知られている不等式を用いて、

$\frac{a}{x}+\frac{a}{y}\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{xy}}$
（等号が成り立つのは $x=y$ のとき）

これより、
$S=2(\frac{a}{x}+\frac{a}{y}+\frac{a}{z})\geq 4\sqrt{\frac{a^2}{xy}}+\frac{2a}{z}$
（等号が成り立つのは $x=y$ のとき）

ここで、 $x=y$ とおくと、 $S=4\sqrt{\frac{a^2}{x^2}}+\frac{2a}{z}$

$x> 0, a>0$ 、また、 $xyz=a$ から $\frac{a}{z}=xy=x^2$ より、

$S=4\sqrt{\frac{a^2}{x^2}}+\frac{2a}{z}=\frac{4a}{x}+2x^2$

したがって、
「体積が一定の条件で、表面積が最小となる直方体は？」というのは
$xyz=a$ かつ $x=y$ の条件の下で、
$S=\frac{4a}{x}+2x^2$ の最小条件を求めることに帰着する。

そこで $S=S(x)=\frac{4a}{x}+2x^2$ として、
$S'(x)=-\frac{4a}{x^2}+4x$

$S'(x)=0$ より、極値を与える $x$ を求めると、

$-\frac{4a}{x^2}+4x=0$ より

$-\frac{a}{x^2}+x=0$

$-a+x^3=0$

$x^3-a=0$

ここで $\alpha=a^{\frac{1}{3}}$ とおくと

$(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha ^2)=0$

$x^2+\alpha x+\alpha ^2>0$ より

$x=\alpha=a^{\frac{1}{3}}$

したがって、[tex:0a^{\frac{1}{3}}]では $S'(x)>0$

$S(x)$ は単調増加

これより $S(x)$ は $x=a^{\frac{1}{3}}$ で最小となる
$z=\frac{a}{x^2}$ から $z=a^{\frac{1}{3}}$

最小値は $S=S(\alpha)=\frac{4a}{\alpha}+2\alpha^2$

$a=\alpha^3$ より $S(\alpha)=4\alpha^2+2\alpha^2=6\alpha^2$

すなわち $S$ が最小となるのは $x=y=z(=a^{\frac{1}{3}})$ のときであるから,
立方体になるときである。

2009-04-16

牛乳パックの形

$x,y,z$ を直方体の縦、横、高さとする。この直方体の体積を $a$ とすれば、
$xyz=a$ である。
また、表面積を $S$ とすれば、 $S=2(xy+yz+zx)$ である。

「体積が一定の条件で、表面積が最小となる直方体は？」というのは
$xyz=a$ の条件の下で、 $S$ が最小となる条件を求めよ、と言うことである。

　下書きしてたら、texの所の表示を確認したくなったので、「保存」したら、本書きになってしまって、下書きに戻れなくなった。下書きに戻れると便利なのに・・・。誰か教えて下さい。今日はこの辺で。

2009-04-16

１年ぶり

　１年ぶりの日記。
　こちらのブログの編集の仕方に今ひとつ慣れていないため、ブログ更新がおろそかになってしまった。よく見ると管理画面に下書きできるようになっていることが分かったので、今後は下書きをたくさんためて書くことにする。
　今日の所はこれで・・・。また始まります。

2008-03-28

実際の作図

実際の作図では次のようになります。

半径１の円で，まず円周上に１点Aをとります。直径OAと垂直な直径（水平線）を引きます。
OM= $1\over 2$ に取ります。垂直二等分線の作図でMは求まります。
このとき $MA=\frac{\sqrt{5}}{2}$ です。
Mを中心として，MAを半径とする円と水平線との交点をNとすると
$ON=NM-OM=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$