行列式の計算 - math19575’s blog

５０年前に学んだ数学の復習。

行列式の計算だ。少しずつ復習して、問題の演習に入った。

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この等式を証明せよ、という。

行列式の列や行を足したり引いたりして、行列式を変形

してみたが、うまくいかないので、基本に戻り、左辺を展開した。

この行列式の値を $D$ とすると、展開公式により、

$D=(b+c)^2(c+a)^2(a+b)^2+2a^2b^2c^2-a^4(b+c)^2-b^4(c+a)^2-c^4(a+b)^2$

となる。

第１項と第３項を $(b+c)^2$ でくくり、式を変形すると、

$(b+c)^2\{(c+a)^2(a+b)^2-a^4\}+\{a^2b^2c^2-b^4(c+a)^2\}+\{a^2b^2c^2-c^4(a+b)^2\}$

２乗の差を和と差の積に因数分解して整理すると、

$(b+c)^2\{2a^2+(b+c)a+bc\}\{(b+c)a+bc\}$

$+b^2\{ac+b(c+a)\}\{ac-b(c+a)\}$

$+c^2\{ab+c(a+b)\}\{ab-c(a+b)\}$

ここで、 $(b+c)a+bc=bc+ca+ab$

となるから、以下 $bc+ca+ab=A$ と置いて式を変形整理すると、

$D=(b+c)^2(2a^2+A)A+b^2A(-bc+ca-ab)+c^2A(-bc-ca+ab)$

各項が $A$ を因数に持つので、両辺を $A$ で割り、

$-bc+ca-ab=A-2bc-2ab$ 、 $-bc-ca+ab=A-2bc-2ca$ より、

$D/A=(b+c)^2(2a^2+A)+b^2(A-2bc-2ab)+c^2(A-2bc-2ca)$

この式が $2A^2$ であることを示せば良い。

以下つづく