行列式の計算 続き

 

５０年前に学んだ数学の復習。

行列式の計算だ。「以下の等式を証明せよ」という。

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 何とか証明が出来た。途中まで証明をアップしたが、その続き。

この行列式の値をDとすると、展開公式により、

D=(b+c)^2(c+a)^2(a+b)^2+2a^2b^2c^2-a^4(b+c)^2-b^4(c+a)^2-c^4(a+b)^2

となる。

以下bc+ca+ab=Aと置いて式を変形整理すると、 

D/A=(b+c)^2(2a^2+A)+b^2(A-2bc-2ab)+c^2(A-2bc-2ca)

 この式が2A^2であることを示せば良い。

 この式のうちbc+ca+ab=Aでくくれる部分とそうでない部分に分ける。
すなわち、

D/A=(b+c)^2(2a^2+A)+b^2(A-2bc-2ab)+c^2(A-2bc-2ca)

　　=A(b+c)^2+Ab^2+Ac^2+2a^2(b+c)^2+b^2(-2bc-2ab)+c^2(-2bc-2ca)

　　=A\{(b+c)^2+b^2+c^2\}+2a^2(b+c)^2+b^2(-2bc-2ab)+c^2(-2bc-2ca)

 Aでくくられてない部分は2でくくりaについて整理すると，

 　　=A\{(b+c)^2+b^2+c^2\}+2\{a^2(b+c)^2+b^3(-c-a)+c^3(-b-a)\}
        =A\{(b+c)^2+b^2+c^2\}+2\{(b+c)^2a^2-(b^3+c^3)a-bc(b^2+c^2)\}

     前半部分を2でくくり，たすきがけにより後半部分は因数分解出来て，

        =2A(b^2+c^2+bc)+2\{(b+c)a+bc\}\{(b+c)a-(b^2+c^2)\}

 　　=2A(b^2+c^2+bc)+2\{ba+ca+bc\}\{(b+c)a-(b^2+c^2)\}  
      ba+ca+bc=Aであるから，
        =2A(b^2+c^2+bc)+2A\{(b+c)a-(b^2+c^2)\}
   　 =2A\{(b^2+c^2+bc)+(b+c)a-(b^2+c^2)\}=2A(bc+ba+ca)=2A^2

以上から，

      D/A=2A^2

すなわち，D=2A^3=2(bc+ca+ab)^3

                                                                                    （証明終わり）