あけましておめでとうございます
あけましておめでとうございます。今年もよろしくおねがいします。
あまり更新していませんが、ときどきがんばりたいと思います。
久しぶり
久しぶりに、こちらに記事を書く。完全退職して１年がたった。自宅にいてやったことはいろいろ。
まずは推理小説を読んだ。そのうちネタやパターンが分かって面白くなくなり、数学の復習を始めた。
やったのは高校の数学。数学123とABCの教科書６冊を取り寄せ、問題を解く。５月頃からか・・・。終わったのが１０月いっぱい。
そのあとは全高校受験問題に取りかかる。都立の入試を解く。次に埼玉と千葉を。それから関東地方の国立高校の問題。そして東京の一部の私立の問題を解く。解き終わったのが今年の２月の始め頃。
で、ガロアの理論の解説書を１冊読む。ノートを取りながら読んだ。そして今は２冊目。機会があったら、アップする予定。
ド・モルガンの法則
離任式で久しぶりに卒業生に会うと、数学の授業で数学Ａが難しいようだ。集合の単元らしい。中学校のときのように計算をするだけではなく集合というと論理が大事になるので、物事を論理的に考えなくてはならない。
例えばド・モルガンの法則など。
これがド・モルガンの法則。
このブログでは補集合を表す上線が表現できるので便利。
この法則を証明せよと言われたらどうする？教科書などでは図で説明しているようだが・・・。
この証明を集合論の本などで見ると、
証明
であるから
は
に属さない要素全体
「に属さない」ということは「『AまたはB』に属さない」ことと同値であるから
「Aに属さない」かつ「Bに属さない」ことと同値
したがって、
は「Aに属さない」かつ「Bに属さない」要素全体
すなわち、 かつ
であるから
と、論理で証明していた。
論理が分からないと、この証明は分からない。
で、私なりに証明を考えてみた。
背理法を使っているので、こちらでも分からないかも・・・、
証明
まずを言う。
それには、ならば
が言えれば良い。
とすると
である。
そこで、を示す。
は
に属するか、属さないかの２つに１つである。
もしと仮定すれば、
であるから、
すなわち
でなければならないが、
これはに反する。
したがってではない。２つに１つのうち一方が正しくないのだから
つまりである。 （この論理法を「背理法」という）
これより・・・(1)
xとBについても同様にして、・・・(2)
(1)、(2)からかつ
であるから
したがって、
これで証明の前半が終わる。
後半はを示せばよい。
それには、として、
であることを導く。
ここで使われている論理に「背理法」を使っているので高校１年生の諸君にとっては難しかろう。
そういう事情で、教科書や参考書はベン図を使う。
ところで証明の後半はどうやるのかお分かりだろうか？
